ปัญหา Sturm-Liouvilleหรือปัญหาค่าลักษณะเฉพาะในคณิตศาสตร์เป็นคลาสหนึ่งของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วน (PDEs) ภายใต้ข้อ จำกัด พิเศษที่เรียกว่าค่าขอบเขตในการแก้ปัญหา สมการดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดาในฟิสิกส์คลาสสิก (เช่นการนำความร้อน) และกลศาสตร์ควอนตัม (เช่นสมการชโรดิงเงอร์) เพื่ออธิบายกระบวนการที่บางค่าภายนอก (ค่าขอบเขต) คงที่ในขณะที่ระบบดอกเบี้ยส่งพลังงานบางรูปแบบ
ในช่วงกลางทศวรรษ 1830 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Charles-François Sturm และ Joseph Liouville ทำงานอย่างอิสระเกี่ยวกับปัญหาการนำความร้อนผ่านแท่งโลหะในกระบวนการพัฒนาเทคนิคการแก้ปัญหา PDEs ขนาดใหญ่วิธีที่ง่ายที่สุดในรูปแบบ [p (x) y ′]′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 โดยที่ y คือปริมาณทางกายภาพ (หรือฟังก์ชันเชิงกลเชิงกลควอนตัม) และλเป็นพารามิเตอร์หรือ eigenvalue ที่ y เป็นไปตามค่าขอบเขตที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาที่ตัวแปร x มีช่วง หากฟังก์ชัน p, q, และ r เป็นไปตามเงื่อนไขที่เหมาะสมสมการนั้นจะมีกลุ่มของการแก้ปัญหาที่เรียกว่า eigenfunctions ซึ่งสอดคล้องกับโซลูชัน eigenvalue
สำหรับกรณีที่ไม่เป็นเอกพันธ์ที่ซับซ้อนซึ่งด้านขวาของสมการข้างต้นคือฟังก์ชัน f (x) มากกว่าศูนย์ค่าลักษณะเฉพาะของสมการเอกพันธ์ที่เหมือนกันสามารถเปรียบเทียบกับค่าลักษณะเฉพาะของสมการดั้งเดิมได้ หากค่าเหล่านี้แตกต่างกันปัญหาจะมีวิธีแก้ไขเฉพาะ ในทางกลับกันหากหนึ่งในค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้ตรงกับปัญหาจะไม่มีวิธีการแก้ปัญหาหรือทั้งครอบครัวของการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชั่น f (x)
