Hippocrates of Chios (fl. c. 460 bc) แสดงให้เห็นว่าพื้นที่ที่มีรูปร่างคล้ายดวงจันทร์ระหว่างส่วนโค้งของวงกลมเรียกว่า lunes สามารถแสดงได้ว่าเป็นพื้นที่ rectilinear หรือพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ในกรณีที่เรียบง่ายดังต่อไปนี้สองเพลงที่พัฒนาขึ้นรอบ ๆ ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีพื้นที่รวมกันเท่ากับของรูปสามเหลี่ยม
-
เริ่มต้นด้วยΔABCขวาวาดวงกลมที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางตรงกับ AB (ด้าน c), ด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ที่ดึงด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมสำหรับด้านตรงข้ามมุมฉากต้องถูกจารึกไว้ภายในวงกลม C ต้องอยู่บนวงกลม
-
วาดครึ่งวงกลมด้วย diameters AC (ด้าน b) และ BC (ด้าน a) ดังรูป
-
ติดฉลาก Lunes ที่เป็นผลลัพธ์ L 1และ L 2และส่วนที่เป็นผลลัพธ์ S 1และ S 2ตามที่ระบุในรูป
-
ทีนี้ผลรวมของ lunes (L 1และ L 2) ต้องเท่ากับผลรวมของ semicircles (L 1 + S 1และ L 2 + S 2) ที่บรรจุพวกเขาลบสองเซกเมนต์ (S 1และ S 2) ดังนั้น L 1 + L 2 = π / 2 (b / 2) 2 - S 1 + π / 2 (a / 2) 2 - S 2 (เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมคือπคูณสแควร์ของรัศมี)
-
ผลรวมของส่วน (S 1และ S 2) เท่ากับพื้นที่ของครึ่งวงกลมตาม AB ลบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น S 1 + S 2 = π / 2 (c / 2) 2 - ΔABC
-
การแทนที่นิพจน์ในขั้นตอนที่ 5 เป็นขั้นตอนที่ 4 และแยกคำทั่วไปออก, L 1 + L 2 = π / 8 (a 2 + b 2 - c 2) + ΔABC
-
ตั้งแต่∠ACB = 90 °, a 2 + b 2 - c 2 = 0, โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้น L 1 + L 2 = ΔABC
ฮิปโปเครติสจัดการสี่เหลี่ยมหลายประเภทของเพลงบางส่วนบนโค้งมากขึ้นและน้อยกว่าครึ่งวงกลมและเขา intimated แม้ว่าเขาอาจจะไม่เชื่อว่าวิธีการของเขาสามารถตารางวงกลมทั้งวง ในตอนท้ายของยุคคลาสสิก Boethius (c. โฆษณา 470–524) ซึ่งการแปลตัวอย่างของ Euclid ในภาษาละตินจะทำให้แสงของรูปทรงเรขาคณิตกะพริบมานานกว่าครึ่งสหัสวรรษ ไม่ว่าจะเป็นอัจฉริยะที่ไม่รู้จักใช้เพลงประกอบหรือวิธีการอื่นไม่เป็นที่รู้จักเนื่องจากการขาดพื้นที่โบติอุสไม่ได้ให้การสาธิต ดังนั้นเขาจึงส่งความท้าทายของการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของวงกลมพร้อมกับชิ้นส่วนของรูปทรงเรขาคณิตที่เห็นได้ชัดว่ามีประโยชน์ในการทำมัน ชาวยุโรปยังคงปฏิบัติภารกิจอย่างไร้โชคในการตรัสรู้ ในที่สุดในปี ค.ศ. 1775 สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งปารีสเบื่อหน่ายกับภารกิจในการตรวจจับการล่มสลายในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่ส่งเข้ามาปฏิเสธที่จะมีอะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับวงกลม Squarers
