ประวัติการวิเคราะห์
ชาวกรีกพบกับขนาดที่ต่อเนื่อง
การวิเคราะห์ประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ซึ่งการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องมีความสำคัญ สิ่งเหล่านี้รวมถึงการศึกษาการเคลื่อนที่และเรขาคณิตของเส้นโค้งและพื้นผิวเรียบโดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณแทนเจนต์พื้นที่และปริมาตร นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณมีความก้าวหน้าอย่างมากทั้งในด้านทฤษฎีและการวิเคราะห์ ทฤษฎีถูกบังคับให้พวกเขาประมาณ 500 ปีก่อนคริสตศักราชโดยการค้นพบพีทาโกรัสที่ไร้เหตุผลและประมาณ 450 ปีก่อนคริสตศักราชโดยการเคลื่อนไหวของนักปราชญ์ของเซโน
พีทาโกรัสและตัวเลขที่ไม่มีเหตุผล
ในขั้นต้นพีทาโกรัสเชื่อว่าทุกสิ่งสามารถวัดได้โดยตัวเลขธรรมชาติที่ไม่ต่อเนื่อง (1, 2, 3,
) และอัตราส่วน (เศษส่วนธรรมดาหรือจำนวนตรรกยะ) อย่างไรก็ตามความเชื่อนี้สั่นคลอนอย่างไรก็ตามจากการค้นพบว่าเส้นทแยงมุมของหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส (นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีด้านยาว 1) ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะได้ การค้นพบนี้ถูกนำเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสของตัวเองซึ่งเป็นที่ยอมรับว่าตารางในด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมขวาเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมที่อื่น ๆ ทั้งสองฝ่ายในเอกสารสมัยใหม่ค2 = a 2 + B 2 ในหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสเส้นทแยงมุมคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีด้าน a = b = 1; ดังนั้นการวัดของมันคือรากที่สองของ -2 จำนวนอตรรกยะ ต่อความตั้งใจของตนเองพีทาโกรัสจึงแสดงให้เห็นว่าจำนวนตรรกยะไม่พอเพียงสำหรับการวัดวัตถุทางเรขาคณิตที่เรียบง่าย (ดูแถบด้านข้าง: Incommensurables) ปฏิกิริยาของพวกเขาคือการสร้างเลขคณิตของส่วนของเส้นที่พบใน Book II ขององค์ประกอบของ Euclid (c. 300 bce) ซึ่งรวมถึงการตีความทางเรขาคณิตของตัวเลขที่มีเหตุผล สำหรับชาวกรีกส่วนของเส้นแบ่งเป็นเรื่องทั่วไปมากกว่าตัวเลขเพราะพวกมันรวมถึงขนาดที่ต่อเนื่องและขนาดที่ไม่ต่อเนื่อง
จริง ๆ แล้วสแควร์รูทของ be2 สามารถเกี่ยวข้องกับจำนวนตรรกยะเฉพาะผ่านกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด สิ่งนี้เกิดขึ้นจริงโดย Euclid ผู้ศึกษาการคำนวณของจำนวนตรรกยะและส่วนของเส้นตรง อัลกอริธึม Euclidean ที่โด่งดังของเขาเมื่อนำไปใช้กับตัวเลขธรรมชาติจำนวนคู่นำไปสู่จำนวนขั้นตอนที่ไม่แน่นอนสำหรับตัวหารสามัญที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อย่างไรก็ตามเมื่อนำไปใช้กับคู่ของส่วนของเส้นตรงที่มีอัตราส่วนไม่ลงตัวเช่นสแควร์รูทของ√2และ 1 จะไม่สามารถยุติ Euclid ใช้คุณสมบัติการไม่ระบุตัวตนนี้เป็นเกณฑ์สำหรับความไร้เหตุผล ดังนั้นความไร้เหตุผลท้าทายแนวคิดกรีกของจำนวนโดยบังคับให้พวกเขาจัดการกับกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ความขัดแย้งของ Zeno และแนวคิดเรื่องการเคลื่อนไหว
เช่นเดียวกับรากที่สองของ√2เป็นสิ่งที่ท้าทายแนวคิดของตัวเลขกรีกความขัดแย้งของนักปราชญ์เป็นสิ่งที่ท้าทายต่อแนวคิดการเคลื่อนไหวของพวกเขา ในวิชาฟิสิกส์ของเขา (ค. 350 ก่อนคริสตศักราช) อริสโตเติลอ้างนักปราชญ์ว่า:
ไม่มีการเคลื่อนไหวเพราะสิ่งที่เคลื่อนไหวจะต้องมาถึงตรงกลาง [แน่นอน] ก่อนที่มันจะมาถึงจุดสิ้นสุด
ข้อโต้แย้งของนักปราชญ์เป็นที่รู้กันเพียงผ่านอริสโตเติล สันนิษฐาน Zeno หมายถึงว่าเพื่อให้ได้ทุกที่ก่อนอื่นต้องไปครึ่งทางและก่อนหน้านั้นหนึ่งในสี่ของทางและก่อนหน้านั้นหนึ่งในแปดของทางและอื่น ๆ เนื่องจากกระบวนการของการลดระยะทางลงครึ่งหนึ่งจะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (แนวคิดที่ชาวกรีกจะไม่ยอมรับมากที่สุด) นักปราชญ์อ้างว่า“ พิสูจน์” ว่าความจริงนั้นประกอบด้วยสิ่งมีชีวิตที่ไม่เปลี่ยนแปลง ถึงกระนั้นพวกกรีกก็พบว่าแนวคิดนี้ขาดไม่ได้ในวิชาคณิตศาสตร์ที่มีขนาดต่อเนื่อง ดังนั้นพวกเขาจึงให้เหตุผลเกี่ยวกับอนันต์ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในกรอบตรรกะที่เรียกว่าทฤษฎีสัดส่วนและใช้วิธีการอ่อนเพลีย
ทฤษฎีสัดส่วนถูกสร้างขึ้นโดย Eudoxus ประมาณ 350 bce และเก็บรักษาไว้ใน Book V ของ Euclid's Elements มันสร้างความสัมพันธ์ที่แน่นอนระหว่างขนาดที่มีเหตุผลและขนาดตามอำเภอใจโดยการกำหนดสองขนาดให้เท่ากันถ้าขนาดของเหตุผลน้อยกว่าพวกมันเหมือนกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งสองขนาดต่างกันก็ต่อเมื่อมีขนาดเหตุผลระหว่างพวกเขาอย่างเคร่งครัด คำจำกัดความนี้ทำหน้าที่นักคณิตศาสตร์เป็นเวลาสองพันปีและปูทางสำหรับการวิเคราะห์เชิงเลขคณิตในศตวรรษที่ 19 ซึ่งมีการกำหนดตัวเลขโดยพลการอย่างเข้มงวดในแง่ของจำนวนตรรกยะ ทฤษฎีสัดส่วนเป็นการปฏิบัติที่เคร่งครัดเป็นครั้งแรกของแนวคิดเรื่องขีด จำกัด ซึ่งเป็นแนวคิดหลักของการวิเคราะห์สมัยใหม่ ในแง่ที่ทันสมัยทฤษฎีของ Eudoxus ได้กำหนดขนาดตามอำเภอใจตามขอบเขตของเหตุผลที่มีเหตุผลและทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับผลรวมความแตกต่างและผลคูณของขนาดเท่ากับทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมความแตกต่างและผลคูณของขีด จำกัด
