สมมติฐานของรีมันน์ในทฤษฎีจำนวนสมมติฐานโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันแบร์นฮาร์ดรีมันน์เกี่ยวกับตำแหน่งของการแก้ปัญหาของฟังก์ชันซีตารีมันน์ซึ่งเชื่อมต่อกับทฤษฎีจำนวนเฉพาะและมีความสำคัญสำหรับการกระจายของจำนวนเฉพาะ Riemann รวมสมมติฐานไว้ในกระดาษ“ Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“ จำนวนจำนวนน้อยกว่าจำนวนที่กำหนด”) ตีพิมพ์ในฉบับเดือนพฤศจิกายนปี 1859 ของ Monatsberichte der Berliner Akademie สถาบันการศึกษาแห่งเบอร์ลิน”)
ฟังก์ชั่นซีต้าถูกกำหนดให้เป็นอนันต์อนุกรมζ (s) = 1 + 2 + s + 3 −s + 4 −s + ⋯หรือในสัญกรณ์ขนาดกะทัดรัดมากขึ้น
โดยที่ผลรวม (terms) ของคำศัพท์สำหรับ n วิ่งจาก 1 ถึงอนันต์ผ่านจำนวนเต็มบวกและ s เป็นจำนวนเต็มบวกคงที่มากกว่า 1 ฟังก์ชันซีตาถูกศึกษาครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Leonhard Euler ในศตวรรษที่ 18 (ด้วยเหตุนี้บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันซีตาออยเลอร์สำหรับζ (1) ชุดนี้เป็นชุดฮาร์มอนิกที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณที่จะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต - กล่าวคือจำนวนรวมของมันไม่มีที่สิ้นสุด) ได้รับการพิสูจน์ใน 1,735 ที่ζ (2) = π 2 /6 ปัญหาที่ได้เลือนหายนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุคนั้นรวมทั้งครอบครัวของสวิส Bernoulli A (จาคอบ, โยฮันน์และแดเนียล) โดยทั่วไปออยเลอร์ค้นพบ (1739) ความสัมพันธ์ระหว่างค่าของฟังก์ชันซีตาสำหรับเลขจำนวนเต็มกับตัวเลขเบอร์นูลลีซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ในการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ของ x / (e x - 1) (ดูเพิ่มเติมที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) ในปี 1737 ออยเลอร์ค้นพบสูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาซึ่งรวมถึงการหาลำดับอนันต์ของคำที่มีจำนวนเต็มบวกและผลิตภัณฑ์อนันต์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะทั้งหมด:
Riemann ขยายการศึกษาฟังก์ชันซีตาเพื่อรวมจำนวนเชิงซ้อน x + iy โดยที่ i = สแควร์รูทของ√√ 1 ยกเว้นบรรทัด x = 1 ในระนาบเชิงซ้อน Riemann รู้ว่าฟังก์ชันซีต้าเท่ากับศูนย์สำหรับจำนวนเต็มลบแม้แต่จำนวนเต็ม −2, −4, −6,
(เรียกว่าศูนย์เล็ก ๆ น้อย ๆ) และมันมีจำนวนศูนย์ในแถบวิกฤตของจำนวนเชิงซ้อนที่ตกระหว่างบรรทัด x = 0 และ x = 1 เขายังรู้ว่าศูนย์ nontrivial ทั้งหมดสมมาตรด้วยความเคารพ สายสำคัญ x = 1 / 2 Riemann คาดคะเนว่าศูนย์ nontrivial ทั้งหมดอยู่บนเส้นวิกฤตการคาดเดาที่ต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อสมมติฐานของ Riemann
ในปี 1914 นักคณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษก็อดฟรีย์แฮโรลด์ฮาร์พิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนอนันต์ของการแก้ปัญหาของζ (s) = 0 อยู่บนเส้นที่สำคัญ x = 1 / 2 ต่อมานักคณิตศาสตร์หลายคนได้แสดงให้เห็นว่าส่วนใหญ่ของคำตอบจะต้องอยู่บนเส้นวิกฤตแม้ว่า "บทพิสูจน์" บ่อยครั้งที่คำตอบที่ไม่ใช่เรื่องไร้สาระก็มีข้อบกพร่อง คอมพิวเตอร์ยังถูกใช้เพื่อทดสอบการแก้ปัญหาด้วยโซลูชั่นที่ไม่เกี่ยวกับการใช้งาน 10 ล้านล้านรายการแรกที่แสดงบนบรรทัดสำคัญ
หลักฐานของสมมติฐานของรีมันน์จะมีผลที่ตามมาอย่างกว้างขวางสำหรับทฤษฎีจำนวนและสำหรับการใช้ช่วงเวลาในการเข้ารหัส
สมมติฐาน Riemann ได้รับการพิจารณาปัญหาที่ใหญ่ที่สุดในคณิตศาสตร์ มันเป็นหนึ่งใน 10 ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่แก้ (23 ในที่อยู่ที่พิมพ์ออกมา) นำเสนอเป็นความท้าทายสำหรับนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน David Hilbert ที่การประชุมนานาชาติครั้งที่สองของคณิตศาสตร์ในกรุงปารีสเมื่อวันที่ 8 สิงหาคม 1900 Smale อัพเดทความคิดของ Hilbert ด้วยรายการปัญหาสำคัญสำหรับศตวรรษที่ 21 สมมติฐานของรีมันน์เป็นหมายเลขหนึ่ง ในปี 2000 มันถูกกำหนดให้เป็นปัญหามิลเลนเนียมหนึ่งในเจ็ดปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เลือกโดย Clay Mathematics Institute of Cambridge, Mass., US สำหรับรางวัลพิเศษ ทางออกสำหรับปัญหาของ Millennium แต่ละข้อมีมูลค่า $ 1 ล้าน ในปี 2008 สำนักงานป้องกันโครงการวิจัยขั้นสูงของสหรัฐ (DARPA) ได้ระบุว่าเป็นหนึ่งในความท้าทายทางคณิตศาสตร์ของ DARPA ซึ่งเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ 23 ข้อซึ่งเป็นการชักชวนข้อเสนอการวิจัยสำหรับการระดมทุน -“ ความท้าทายทางคณิตศาสตร์ที่สิบเก้า: ตั้งสมมติฐานของรีมันน์ จอกศักดิ์สิทธิ์ของทฤษฎีจำนวน”
