ตรรกะที่เป็นทางการ

Tableaux ความหมาย

ตั้งแต่ยุค 80 เทคนิคอื่นในการพิจารณาความถูกต้องของการขัดแย้งในพีซีหรือ LPC ได้รับความนิยมเนื่องจากทั้งสองเพื่อความสะดวกในการเรียนรู้และการใช้งานตรงไปตรงมาโดยโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ข้อเสนอแนะเดิมโดยนักตรรกศาสตร์ชาวดัตช์ Evert W. Beth มันได้รับการพัฒนาอย่างเต็มที่และเผยแพร่โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันและนักตรรกวิทยา Raymond M. Smullyan พักการสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้สำหรับสถานที่ของการโต้แย้งที่ถูกต้องจะเป็นจริงในขณะที่ข้อสรุปเป็นเท็จวิธีนี้พยายามที่จะตีความ (หรือประเมิน) สถานที่ในลักษณะที่พวกเขามีความพึงพอใจพร้อมกันและการปฏิเสธของ บทสรุปก็พอใจเช่นกัน ความสำเร็จในความพยายามดังกล่าวจะแสดงให้เห็นว่าการโต้แย้งนั้นไม่ถูกต้องในขณะที่ความล้มเหลวในการค้นหาการตีความดังกล่าวจะแสดงว่ามันถูกต้อง

การสร้างความหมายของฉากบนโต๊ะมีความหมายดังนี้: แสดงสถานที่และการปฏิเสธข้อสรุปของการโต้เถียงในพีซีโดยใช้การปฏิเสธ (∼) และการแยก (∨) เป็นการเชื่อมต่อเชิงประพจน์ กำจัดทุกสัญญาณการปฏิเสธสองสัญญาณในลำดับ (เช่น ∼∼∼∼∼a กลายเป็น ∼a) ตอนนี้สร้างแผนภาพต้นไม้ที่มีการแตกแขนงย่อยลงเพื่อให้ความแตกต่างแต่ละอันถูกแทนที่ด้วยสองกิ่งหนึ่งอันสำหรับทางแยกด้านซ้ายและอีกอันสำหรับด้านขวา ความแตกต่างดั้งเดิมเป็นจริงถ้าสาขาใดเป็นจริง การอ้างอิงถึงกฎของเดอมอร์แกนแสดงให้เห็นว่าการปฏิเสธการแบ่งแยกนั้นเป็นจริงในกรณีที่การปฏิเสธของการแยกทั้งสองนั้นเป็นความจริง [เช่น ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)] การสังเกตความหมายนี้นำไปสู่กฎว่าการปฏิเสธความแตกแยกกลายเป็นสาขาเดียวที่มีการปฏิเสธของการแยกกัน:

พิจารณาอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้:

เขียน:

ตอนนี้แยกความแตกต่างออกเป็นสองสาขา:

เฉพาะในกรณีที่ประโยคทั้งหมดในสาขาอย่างน้อยหนึ่งสาขาเป็นจริงเป็นไปได้ที่สถานที่ดั้งเดิมจะเป็นจริงและสรุปเป็นเท็จ (เทียบเท่ากับการปฏิเสธข้อสรุป) โดยการติดตามบรรทัดขึ้นในแต่ละสาขาไปยังด้านบนของต้นไม้หนึ่งจะสังเกตว่าไม่มีการประเมินค่าของ a ในสาขาด้านซ้ายจะส่งผลให้ประโยคทั้งหมดในสาขานั้นได้รับมูลค่าที่แท้จริง (เนื่องจากการปรากฏตัวของและ ∼a). ในทำนองเดียวกันในสาขาด้านขวาการมีอยู่ของ b และ ∼b ทำให้การประเมินค่าเป็นไปไม่ได้ที่จะส่งผลให้ประโยคทั้งหมดของสาขาได้รับคุณค่าที่แท้จริง สาขาเหล่านี้เป็นสาขาที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพบสถานการณ์ที่สถานที่นั้นเป็นจริงและข้อสรุปที่ผิดพลาด อาร์กิวเมนต์เดิมจึงถูกต้อง

เทคนิคนี้สามารถขยายได้เพื่อจัดการกับสิ่งเชื่อมต่ออื่น ๆ:

นอกจากนี้ใน LPC ต้องมีการแนะนำกฎสำหรับการคำนวณ wffs เชิงปริมาณโดยทันที เห็นได้ชัดว่าสาขาใด ๆ ที่มีทั้ง (∀x) ϕx และ ∼ϕy เป็นสิ่งหนึ่งที่ประโยคทั้งหมดในสาขานั้นไม่สามารถพึงพอใจได้ในเวลาเดียวกัน (ภายใต้สมมติฐานของความมั่นคง consist - ดู; metalogic) หากสาขาทั้งหมดล้มเหลวในการสร้างความพึงพอใจพร้อมกันอาร์กิวเมนต์ดั้งเดิมนั้นจะถูกต้อง

ระบบพิเศษของ LPC

LPC ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นอาจได้รับการแก้ไขโดยการ จำกัด หรือขยายช่วงของ wffs ในรูปแบบต่างๆ:

• 1. ระบบส่วนบุคคลของ LPC บางส่วนของระบบที่สำคัญยิ่งกว่าที่ผลิตโดยการ จำกัด อยู่ที่นี่:

  • a. มันอาจจำเป็นที่ตัวแปรเพรดิเคตทุกตัวจะเป็นโมนาดิคในขณะที่ยังยอมให้มีจำนวนตัวแปรเดี่ยวและเพรดิเคตไม่ จำกัด wffs ของอะตอมเป็นเพียงแค่นั้นประกอบด้วยตัวแปรเพรดิเคตตามด้วยตัวแปรเดี่ยว มิฉะนั้นกฎการก่อตัวยังคงเหมือนเดิมและคำจำกัดความของความถูกต้องก็เหมือนเมื่อก่อนแม้ว่าจะทำให้ง่ายขึ้นในรูปแบบที่ชัดเจน ระบบนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ LPC monadic; มันให้ตรรกะของคุณสมบัติ แต่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ คุณลักษณะที่สำคัญอย่างหนึ่งของระบบนี้ก็คือมันสามารถตัดสินใจได้ (การแนะนำของแม้แต่ตัวแปร dyadic เพรดิเคต แต่จะทำให้ระบบไม่สามารถตัดสินใจได้และในความเป็นจริงแม้แต่ระบบที่มีตัวแปรเพรดิเคตเดียวเท่านั้นและไม่มีตัวแปรภาคแสดงอื่น ๆ เลยที่แสดงว่าไม่สามารถตัดสินใจได้)

  • bA ยังคงเป็นระบบที่ง่ายขึ้นโดยต้องการ (1) ว่าตัวแปรเพรดิเคตทุกตัวเป็น monadic, (2) ที่มีการใช้ตัวแปรเดี่ยวเดี่ยวเท่านั้น (เช่น x), (3) ที่ทุกสิ่งที่เกิดขึ้นของตัวแปรนี้ถูกผูกไว้และ (4) ว่าไม่มีปริมาณที่เกิดขึ้นภายในขอบเขตของอื่น ๆ ตัวอย่างของ wffs ของระบบนี้คือ (∀x) [ϕx ⊃ (·x·χx)] (“ อะไรก็ตามที่ ϕ คือทั้ง ϕ และχ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“ มีบางสิ่งที่เป็น ϕ แต่ไม่ใช่ψ”); และ (∀x) (ϕx ⊃ψx) ⊃ (∃x) (ϕx ·ψx) (“ หากสิ่งที่ ϕ คือψคือ something จะมีทั้ง both และψ”) สัญกรณ์สำหรับระบบนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการละเว้น x ทุกที่และเขียน ∃ϕ สำหรับ“ Something is ϕ,” ∀ (ϕ ⊃ψ) สำหรับ“ อะไรก็ตามที่ ϕ คือψ” และอื่น ๆ แม้ว่าระบบนี้จะเป็นพื้นฐานยิ่งกว่า LPC แบบ monadic (ซึ่งเป็นชิ้นส่วน) แต่สามารถแสดงรูปแบบของการอนุมานที่หลากหลายได้ นอกจากนี้ยังเป็นระบบ decidable และขั้นตอนการตัดสินใจของประเภทประถมศึกษาสามารถให้มัน

• 2. ส่วนขยายของ LPC ระบบที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งสามารถสร้างข้อเสนอในวงกว้างได้ถูกสร้างขึ้นโดยการเพิ่มสัญลักษณ์ใหม่ของ LPC ประเภทต่างๆ ตรงไปตรงมาที่สุดของการเพิ่มเติมดังกล่าวคือ:

  • a. หนึ่งค่าคงที่ของแต่ละบุคคล (เช่น a, b,

    ): ค่าคงที่เหล่านี้ถูกตีความว่าเป็นชื่อของบุคคลเฉพาะ อย่างเป็นทางการพวกเขาจะแตกต่างจากตัวแปรบุคคลโดยข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่สามารถเกิดขึ้นภายในปริมาณ; เช่น, (∀x) เป็นตัวบอกปริมาณ แต่ (∀a) ไม่ใช่

  • b. ค่าคงที่ของค่าคงที่หนึ่งหรือมากกว่านั้น (พูด A, B,

    ) แต่ละระดับที่ระบุบางอย่างคิดว่าเป็นคุณสมบัติเฉพาะหรือความสัมพันธ์

การเพิ่มเติมที่เป็นไปได้เพิ่มเติมซึ่งเรียกร้องให้มีคำอธิบายที่ค่อนข้างสมบูรณ์ประกอบด้วยสัญลักษณ์ที่ออกแบบมาเพื่อให้ใช้งานได้ แนวคิดของฟังก์ชั่นอาจอธิบายได้อย่างเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ปัจจุบันดังนี้ มีการกล่าวถึงฟังก์ชั่นบางอย่างของการขัดแย้ง n (หรือของการศึกษาระดับปริญญา n) เมื่อมีกฎที่ระบุวัตถุที่ไม่ซ้ำกัน (เรียกว่ามูลค่าของฟังก์ชั่น) เมื่อใดก็ตามที่มีการระบุข้อโต้แย้งทั้งหมด ยกตัวอย่างเช่นในขอบเขตของมนุษย์ตัวอย่างเช่น“ แม่แห่ง -” เป็นฟังก์ชั่น monadic (ฟังก์ชั่นหนึ่งของการโต้แย้ง) เนื่องจากมนุษย์ทุกคนมีบุคคลที่มีความเป็นเอกลักษณ์ซึ่งเป็นแม่ของเขา และในโดเมนของจำนวนธรรมชาติ (เช่น 0, 1, 2,

) "ผลรวมของ - และ -" เป็นฟังก์ชันของสองข้อโต้แย้งเนื่องจากสำหรับหมายเลขธรรมชาติคู่ใด ๆ จะมีจำนวนธรรมชาติที่เป็นผลรวมของพวกเขา สัญลักษณ์ฟังก์ชั่นสามารถคิดได้ว่าเป็นการสร้างชื่อออกมาจากชื่ออื่น ๆ (อาร์กิวเมนต์ของมัน); ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่ x และ y ชื่อหมายเลข“ ผลรวมของ x และ y” ก็ตั้งชื่อตัวเลขเช่นเดียวกันกับฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์ชนิดอื่น ๆ

เพื่อเปิดใช้งานฟังก์ชั่นที่จะแสดงใน LPC อาจมีการเพิ่ม:

• c.One หรือมากกว่าหนึ่งฟังก์ชั่นตัวแปร (พูด, f, g,

  ) อย่างน้อยหนึ่งค่าคงที่ของฟังก์ชัน (พูด, F, G

  ) หรือทั้งสองอย่างแต่ละระดับที่ระบุ อดีตถูกตีความว่าเป็นมากกว่าฟังก์ชั่นขององศาที่ระบุและหลังเป็นการกำหนดฟังก์ชั่นเฉพาะของระดับนั้น

เมื่อมีการเพิ่ม a – c ใด ๆ หรือทั้งหมดลงใน LPC กฎการก่อตัวที่ระบุไว้ในวรรคแรกของส่วนบนแคลคูลัสภาคล่าง (ดูด้านบนแคลคูลัสภาคล่าง) จะต้องมีการปรับเปลี่ยนเพื่อให้สามารถรวมสัญลักษณ์ใหม่ลงใน wffs สิ่งนี้สามารถทำได้ดังนี้: คำแรกถูกกำหนดเป็น (1) ตัวแปรแต่ละตัวหรือ (2) ค่าคงที่แต่ละรายการหรือ (3) นิพจน์ใด ๆ ที่เกิดขึ้นโดยการนำหน้าตัวแปรฟังก์ชันหรือค่าคงที่ฟังก์ชันขององศา n ไปยังเงื่อนไข n ใด ๆ คำเหล่านี้ - ข้อโต้แย้งของสัญลักษณ์ฟังก์ชั่น - มักจะคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคและอยู่ในวงเล็บ) กฎการก่อตัว 1 จะถูกแทนที่ด้วย:

• 1′. นิพจน์ประกอบด้วยตัวแปรเพรดิเคตหรือค่าคงที่เพรดิเคตของระดับ n ตามด้วยคำศัพท์ n เป็น wff

ความจริงพื้นฐานที่ให้ไว้ในส่วนที่เกี่ยวกับ axiomatization ของ LPC (ดูด้านบน Axiomatization ของ LPC) ยังต้องมีการปรับเปลี่ยนต่อไปนี้: ใน axiom schema 2 คำใด ๆ ที่ได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนเมื่อβจะเกิดขึ้นหากไม่มีตัวแปรที่เป็นอิสระใน คำกลายเป็นผูกพันในβ ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นถึงการใช้การเพิ่มเติมดังกล่าวไปยัง LPC: ให้ค่าของตัวแปรแต่ละตัวเป็นจำนวนธรรมชาติ ปล่อยให้แต่ละค่าคงที่ a และ b แทนตัวเลข 2 และ 3 ตามลำดับ ให้ค่าเฉลี่ย“ เป็นไพร์ม”; และให้ F เป็นตัวแทนของฟังก์ชัน dyadic“ ผลรวมของ” จากนั้น AF (a, b) เป็นการแสดงออกถึงข้อเสนอ“ ผลรวมของ 2 และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ” และ (∃x) AF (x, a) เป็นการแสดงออกถึงข้อเสนอ“ มีจำนวนดังกล่าวว่าผลรวมของมันและ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ.”

การแนะนำของค่าคงที่มักจะมาพร้อมกับการเพิ่มความจริงพื้นฐานของสัจพจน์พิเศษที่มีค่าคงที่เหล่านั้นซึ่งออกแบบมาเพื่อแสดงหลักการที่ถือวัตถุคุณสมบัติความสัมพันธ์หรือหน้าที่แสดงโดยพวกเขาแม้ว่าพวกเขาจะไม่ถือวัตถุคุณสมบัติ ความสัมพันธ์หรือหน้าที่โดยทั่วไป ยกตัวอย่างเช่นอาจมีการตัดสินใจให้ใช้ค่าคงที่ A เพื่อแทนค่าความสัมพันธ์แบบ "มากกว่า" (เพื่อให้ Axy หมายถึง "x มากกว่า y" เป็นต้น) ความสัมพันธ์นี้แตกต่างจากคนอื่น ๆ เป็นสกรรมกริยา; กล่าวคือหากวัตถุหนึ่งมีค่ามากกว่าหนึ่งวินาทีและวินาทีนั้นมากกว่าหนึ่งในสามวัตถุนั้นก็จะใหญ่กว่าวัตถุที่สาม ดังนั้นความจริงสัจพจน์พิเศษต่อไปนี้อาจถูกเพิ่ม: ถ้า t ₁, t ₂และ t ₃เป็นคำใด ๆ ดังนั้น (ที่₁ t ₂ ·ที่₂ t ₃) ⊃ที่₁ t ₃เป็นความจริง ด้วยวิธีการดังกล่าวระบบสามารถสร้างขึ้นเพื่อแสดงโครงสร้างเชิงตรรกะของสาขาวิชาเฉพาะต่างๆ พื้นที่ที่งานประเภทนี้ส่วนใหญ่ทำคือเลขคณิตธรรมชาติ

บางครั้งพีซีและ LPC รวมกันเป็นระบบเดียว สิ่งนี้อาจทำได้ง่ายที่สุดโดยการเพิ่มตัวแปรเชิงประพจน์ในรายการดั้งเดิมของ LPC การเพิ่มกฎการสร้างให้เกิดผลกระทบที่ตัวแปรเชิงประพจน์ยืนอยู่คนเดียวคือ wff และการลบ "LPC" ในสคีมาของความจริง 1 ในขณะที่ (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx และ (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy]

• 3.LPC ที่มีตัวตน คำว่า "เป็น" ไม่ได้ใช้ในลักษณะเดียวกัน ในข้อเสนอเช่น (1)“ โสกราตีสถูกดูแคลน” การแสดงออกที่อยู่เบื้องหน้า“ คือ” ตั้งชื่อบุคคลและการแสดงออกต่อไปนี้หมายถึงคุณสมบัติที่เป็นของแต่ละบุคคล แต่ในข้อเสนอเช่น (2)“ โสกราตีสเป็นนักปรัชญาชาวเอเธนส์ที่ดื่มเฮมล็อค” การแสดงออกก่อนหน้าและต่อจาก“ เป็น” ทั้งชื่อบุคคลและความรู้สึกของข้อเสนอทั้งหมดคือบุคคลที่มีชื่อแรกคือ บุคคลเดียวกันกับบุคคลที่มีชื่อตามที่สอง ดังนั้นใน 2“ คือ” สามารถขยายได้ถึง“ เป็นบุคคลเดียวกันกับ” ในขณะที่ 1 ไม่สามารถ ตามที่ใช้ในข้อ 2“ คือ” หมายถึงความสัมพันธ์แบบมีส่วนร่วม - กล่าวคือตัวตน - ที่ข้อเสนอนั้นยืนยันที่จะถือระหว่างบุคคลทั้งสอง ข้อเสนอเอกลักษณ์จะต้องเข้าใจในบริบทนี้เป็นการยืนยันไม่มากไปกว่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่ควรถือเป็นการยืนยันว่าทั้งสองนิพจน์การตั้งชื่อมีความหมายเหมือนกัน ตัวอย่างที่กล่าวถึงมากเพื่อแสดงจุดสุดท้ายนี้คือ“ ดาวยามเช้าคือดาวยามเย็น” เป็นความผิดที่คำว่า "ดาวยามเช้า" และ "ดาวยามค่ำ" หมายถึงสิ่งเดียวกัน แต่มันเป็นความจริงที่วัตถุที่ถูกอ้างถึงในอดีตนั้นเป็นสิ่งเดียวกับที่ถูกอ้างถึงในภายหลัง (ดาวเคราะห์วีนัส)

เพื่อเปิดใช้งานรูปแบบของการเสนอตัวตนที่จะแสดงค่าคงที่ของไดอาดิคจะถูกเพิ่มใน LPC ซึ่งสัญกรณ์ปกติที่สุดคือ = (เขียนระหว่างแทนที่จะเป็นก่อนหน้านี้อาร์กิวเมนต์) การตีความที่ตั้งใจของ x = y คือ x เป็นบุคคลเดียวกันกับ y และการอ่านที่สะดวกที่สุดคือ“ x เหมือนกับ y” มันปฏิเสธ ∼ (x = y) มันเป็นเรื่องธรรมดาที่สั้นเมื่อ x ≠ y สำหรับคำจำกัดความของแบบจำลอง LPC ที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ (ดูความถูกต้องเหนือกว่าใน LPC) ตอนนี้มีการเพิ่มกฎ (ซึ่งสอดคล้องกับวิธีการตีความที่ตั้งใจไว้อย่างชัดเจน) ว่าค่าของ x = y คือ 1 ถ้าสมาชิกคนเดียวกันของ D ถูกกำหนดให้กับทั้ง x และ y และค่านั้นคือ 0 ความถูกต้องสามารถกำหนดได้เหมือนก่อน ข้อมูลเพิ่มเติมต่อไปนี้ (หรือบางรายการที่เทียบเท่า) ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อพื้นฐานซึ่งเป็นจริงสำหรับ LPC: ความจริง x = x และสคีสัจพจน์จริงที่ที่ a และ b เป็นตัวแปรบุคคลใด ๆ และαและβเป็น wffs ที่แตกต่างกันเพียงในที่ สถานที่ตั้งแต่หนึ่งแห่งขึ้นไปที่αมีการเกิดขึ้นของ a, βมีการเกิดขึ้นอย่างอิสระของ b, (a = b) ⊃ (α⊃β) คือสัจพจน์ ระบบดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในชื่อแคลคูลัสแคลนแคลคูลัส แน่นอนว่าอาจได้รับการเพิ่มเติมในวิธีอื่น ๆ ที่อ้างถึงข้างต้นใน“ ส่วนขยายของ LPC” ซึ่งในกรณีนี้คำใด ๆ อาจเป็นอาร์กิวเมนต์ของ =

ตัวตนคือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน; นั่นคือมันเป็นภาพสะท้อน, สมมาตรและสกรรมกริยา การสะท้อนแสงนั้นแสดงออกโดยตรงในสัจพจน์ x = x และทฤษฎีบทที่แสดงความสมมาตรและความแปรปรวนของมันสามารถได้มาจากพื้นฐานที่ให้ไว้

บางข้อเสนอของ LPC-with-identity แสดงข้อเสนอเกี่ยวกับจำนวนของสิ่งที่มีคุณสมบัติที่กำหนด “ อย่างน้อยสิ่งหนึ่งคือ ϕ” แน่นอนสามารถแสดงโดย (∃x) ϕx; “ อย่างน้อยสองสิ่งที่แตกต่าง (ไม่ปรากฏ) คือ ϕ” ขณะนี้สามารถแสดงโดย (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); และลำดับสามารถดำเนินการต่อในลักษณะที่ชัดเจน “ อย่างน้อยที่สุดสิ่งหนึ่งคือ ϕ” (กล่าวคือ“ ไม่มีสิ่งที่แตกต่างกันสองอย่างคือ ϕ”) สามารถแสดงออกได้โดยการปฏิเสธของ wff ที่กล่าวถึงล่าสุดหรือเทียบเท่า (∀x) (∀y) [(·x· ϕy) ⊃ x = y] และลำดับสามารถดำเนินการต่อได้อย่างง่ายดายอีกครั้ง สูตรสำหรับ "สิ่งหนึ่งที่แน่นอนคือ ϕ" อาจได้มาจากการรวมสูตรสำหรับ "อย่างน้อยสิ่งหนึ่งคือ ϕ" และ "อย่างน้อยที่สุดสิ่งหนึ่งคือ ϕ" แต่ wff ที่ง่ายกว่าเทียบเท่ากับการรวมกันนี้คือ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] ซึ่งหมายถึง“ มีบางสิ่งที่เป็น ϕ และสิ่งที่เป็น ϕ คือสิ่งนั้น” ข้อเสนอ“ แน่นอนสองสิ่งคือ ϕ” สามารถแสดงด้วย (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; กล่าวคือ“ มีสองสิ่งที่ไม่ปรากฏให้เห็นซึ่งแต่ละอย่างคือ ϕ และสิ่งที่เป็น ϕ คืออย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่นของสิ่งเหล่านี้ " เห็นได้ชัดว่าลำดับนี้สามารถขยายได้เพื่อให้สูตรสำหรับ "สิ่ง n แน่นอนคือ ϕ" สำหรับหมายเลขธรรมชาติทุกตัว n มันสะดวกที่จะย่อ wff สำหรับ“ สิ่งหนึ่งที่แน่นอนคือ ϕ” ถึง (∃! x) ϕx ตัวอ่านพิเศษนี้มักอ่านออกเสียงว่า "E-Shriek x"

คำอธิบายที่ชัดเจน

เมื่อคุณสมบัติ certain เป็นของวัตถุหนึ่งเดียวเท่านั้นมันจะสะดวกในการใช้นิพจน์ที่ตั้งชื่อวัตถุนั้น สัญกรณ์ทั่วไปสำหรับจุดประสงค์นี้คือ (ιx) ϕx ซึ่งอาจอ่านได้ว่า "สิ่งที่ ϕ" หรือมากกว่านั้นในเวลาสั้น ๆ ว่า "the ϕ" โดยทั่วไปแล้วที่ a คือตัวแปรใด ๆ และαคือ wff ใด ๆ (ιa) αนั้นหมายถึงค่าเดียวของ a ที่ทำให้αเป็นจริง การแสดงออกของแบบฟอร์ม“ พอดูและพอดู” เรียกว่าคำอธิบายที่ชัดเจน; และ (ιx) หรือที่รู้จักกันในชื่อโอเปอเรเตอร์คำอธิบายสามารถคิดได้ว่าเป็นการสร้างชื่อของแต่ละบุคคลจากแบบฟอร์มข้อเสนอ (ιx) มีความคล้ายคลึงกับปริมาณในนั้นเมื่อนำหน้าไปยัง wff αมันจะผูกกับการเกิดขึ้นของ x ในα อนุญาตให้เผยแพร่ตัวแปรที่ผูกมัดอีกครั้งได้เช่นกัน ในกรณีที่ง่ายที่สุด (ιx) ϕx และ (ιy) ϕy แต่ละคนสามารถอ่านได้ง่าย ๆ ว่า "the ϕ"

เท่าที่กฎการก่อตัวมีความเกี่ยวข้องคำอธิบายที่ชัดเจนสามารถรวมเข้ากับ LPC ได้โดยให้การแสดงออกของแบบฟอร์ม (ιa) αนับเป็นข้อตกลง กฎ 1 ′ด้านบนใน“ ส่วนต่อขยายของ LPC” จะอนุญาตให้เกิดขึ้นในสูตรอะตอมมิก (รวมถึงสูตรเอกลักษณ์) “ ϕ คือ (เช่นมีคุณสมบัติ) ψ” จากนั้นสามารถแสดงเป็นψ (ιx) ϕx; “ y คือ (บุคคลเดียวกันกับ) ϕ” เป็น y = (ιx) ϕx; “ The ϕ คือ (บุคคลเดียวกันกับ) ψ” เป็น (ιx) ϕx = (ιy) ψy; และอื่น ๆ

การวิเคราะห์ที่ถูกต้องของข้อเสนอที่มีคำอธิบายที่ชัดเจนนั้นเป็นหัวข้อของการถกเถียงทางปรัชญามากมาย หนึ่งบัญชีที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางอย่างไรก็ตาม - ที่สำคัญที่นำเสนอใน Principia Mathematica และเป็นที่รู้จักในนามทฤษฎีการอธิบายของรัสเซล - ถือได้ว่า "ϕ คือψ" จะต้องเข้าใจตามความหมายว่าสิ่งหนึ่งคือ ϕ และสิ่งนั้นก็คือψ ในกรณีดังกล่าวสามารถแสดงโดย wff ของ LPC-with-identity ที่ไม่มีโอเปอเรเตอร์คำอธิบาย - คือ, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) ·ψx] อะนาล็อก“ y คือ ϕ” ถูกวิเคราะห์ว่า“ y คือ ϕ และไม่มีอะไรอื่นเป็น ϕ” และด้วยเหตุนี้ตามที่แสดงได้โดย (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y) “ The ϕ คือψ” ถูกวิเคราะห์ว่า“ สิ่งหนึ่งที่แน่นอนคือ ϕ, สิ่งหนึ่งที่แน่นอนคือψ, และสิ่งที่ ϕ คือψ” และด้วยเหตุนี้ตามที่แสดงได้โดย (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx· (∀y) (ψy⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ψx) ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx และ (ιx) =x = (ιy) theny สามารถนับได้ว่าเป็นตัวย่อสำหรับ (1), (2) และ (3) ตามลำดับ; และโดยทั่วไปในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น wffs ทั้งหมดที่มีตัวดำเนินการคำอธิบายสามารถถูกมองว่าเป็นตัวย่อสำหรับ wffs ที่ยาวกว่าซึ่งไม่มี

การวิเคราะห์ที่นำไปสู่ ​​(1) เป็นสูตรสำหรับ“ ϕ คือψ” นำไปสู่การต่อไปนี้สำหรับ“ ϕ ไม่ใช่ψ”: (4) ()x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx] เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่า (4) ไม่ใช่การปฏิเสธของ (1); การปฏิเสธนี้คือแทน (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) ·ψx] ความแตกต่างของความหมายระหว่าง (4) และ (5) อยู่ในข้อเท็จจริงที่ว่า (4) นั้นเป็นจริงเฉพาะเมื่อมีสิ่งหนึ่งที่เป็น ϕ และสิ่งนั้นไม่ใช่ψ แต่ (5) เป็นจริงทั้งในกรณีนี้และ เช่นกันเมื่อไม่มีอะไร ϕ เลยและมากกว่าหนึ่งสิ่งคือ is การละเลยความแตกต่างระหว่าง (4) และ (5) อาจส่งผลให้เกิดความสับสนอย่างรุนแรงของความคิด; ในการพูดปกติมันมักจะไม่ชัดเจนว่าคนที่ปฏิเสธว่า ϕ คือ con ยอมรับว่าสิ่งหนึ่งคือ one แต่ปฏิเสธว่ามันคือψหรือปฏิเสธว่าสิ่งหนึ่งคือ one

ข้อโต้แย้งพื้นฐานของทฤษฎีคำอธิบายของรัสเซลคือข้อเสนอที่มีคำอธิบายที่ชัดเจนไม่ควรถือเป็นการยืนยันเกี่ยวกับวัตถุที่คำอธิบายนั้นเป็นชื่อ แต่ค่อนข้างจะเป็นการยืนยันเชิงปริมาณที่มีคุณสมบัติที่ค่อนข้างซับซ้อน (ค่อนข้างซับซ้อน) ตัวอย่าง อย่างเป็นทางการสิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในกฎสำหรับการกำจัดตัวดำเนินการคำอธิบายที่อธิบายไว้ข้างต้น