เรขาคณิตแบบยุคลิด
ถ้าเราพิจารณาเรขาคณิตแบบยูคลิดเราจะมองเห็นได้ชัดเจนว่ามันหมายถึงกฎหมายที่ควบคุมตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง มันหันมาใช้ความคิดอันชาญฉลาดในการติดตามความสัมพันธ์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายและตำแหน่งญาติ ๆ ของพวกเขากับแนวคิด "ระยะทาง" ที่ง่ายมาก (Strecke) ระยะทางหมายถึงวัตถุแข็งเกร็งที่ระบุจุดวัสดุ (เครื่องหมาย) สองจุด แนวคิดของความเท่าเทียมกันของระยะทาง (และมุม) หมายถึงการทดลองที่เกี่ยวข้องกับความบังเอิญ; ข้อสังเกตเดียวกันนี้ใช้กับทฤษฎีบทว่าด้วยความสอดคล้องกัน ทีนี้เรขาคณิตของยุคลิดในรูปแบบที่มันถูกส่งมาให้เราจากยุคลิดใช้แนวคิดพื้นฐาน "เส้นตรง" และ "ระนาบ" ซึ่งดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกันหรือในอัตราใด ๆ ไม่ตรงกับประสบการณ์ เกี่ยวกับตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง ในเรื่องนี้จะต้องตั้งข้อสังเกตว่าแนวคิดของเส้นตรงอาจจะลดลงไปที่ระยะทาง1นอกจากนี้นักเรขาคณิตศาสตร์ยังมีความกังวลน้อยกว่าในการนำความสัมพันธ์ของแนวคิดพื้นฐานของพวกเขามาสัมผัสกับการอนุมานเชิงเรขาคณิตของข้อเสนอเชิงเรขาคณิตจากสัจพจน์สองสามสัจพจน์ที่เริ่มแรก
ให้เราสรุปสั้น ๆ ว่าพื้นฐานของเรขาคณิตแบบยุคลิดอาจได้มาจากแนวคิดเรื่องระยะทาง
เราเริ่มจากความเสมอภาคของระยะทาง (สัจพจน์ของความเสมอภาคของระยะทาง) สมมติว่าระยะทางที่ไม่เท่ากันสองระยะทางหนึ่งไกลกว่าอีกระยะหนึ่งเสมอ สัจพจน์เดียวกันนั้นมีไว้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันของระยะทางเหมือนกับความไม่เท่าเทียมของตัวเลข
สามระยะทาง AB 1, BC 1, CA 1อาจหากเลือก CA 1อย่างเหมาะสมให้มีเครื่องหมาย BB 1, CC 1, AA 1ซ้อนทับกันในลักษณะที่สามเหลี่ยม ABC ส่งผล ระยะทาง CA 1มีขีด จำกัด สูงสุดซึ่งการก่อสร้างนี้ยังเป็นไปได้ คะแนน A, (BB ') และ C จะอยู่ใน“ เส้นตรง” (คำจำกัดความ) สิ่งนี้นำไปสู่แนวคิด: การสร้างระยะทางโดยจำนวนเท่ากับตัวเอง; การหารระยะทางเป็นส่วนเท่า ๆ กัน แสดงระยะทางในรูปของตัวเลขโดยใช้ก้านวัด (ความหมายของระยะห่างระหว่างสองจุด)
เมื่อแนวคิดของช่วงเวลาระหว่างจุดสองจุดหรือความยาวของระยะทางได้รับในลักษณะนี้เราต้องการเพียงความจริงต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทของพีธากอรัส) เพื่อที่จะมาถึงเรขาคณิตแบบยุคลิดวิเคราะห์
สำหรับทุกจุดของอวกาศ (ร่างอ้างอิง) สามตัวเลข (พิกัด) x, y, z อาจได้รับมอบหมาย - และตรงกันข้าม - ในลักษณะที่สำหรับแต่ละจุด A (x 1, y 1, z 1) และ B (x 2, y 2, z 2) ทฤษฎีบทมี:
หมายเลขวัด AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }
แนวคิดและข้อเสนอเพิ่มเติมทั้งหมดของเรขาคณิตแบบยูคลิดสามารถสร้างขึ้นอย่างมีเหตุผลอย่างมีเหตุผลบนพื้นฐานนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อเสนอเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ
แน่นอนว่าคำพูดเหล่านี้ไม่ได้มีวัตถุประสงค์เพื่อแทนที่การสร้างสัจพจน์ของเรขาคณิตแบบยุคลิดอย่างเคร่งครัด เราเพียงต้องการแสดงความเป็นไปได้ว่าแนวคิดทางเรขาคณิตทั้งหมดนั้นสามารถย้อนกลับไปยังระยะทางได้อย่างไร เราอาจมี epitomized พื้นฐานทั้งหมดของเรขาคณิตแบบยุคลิดในทฤษฎีบทสุดท้ายข้างต้น ความสัมพันธ์กับรากฐานของประสบการณ์นั้นจะได้รับการตกแต่งด้วยทฤษฎีเสริม
พิกัดอาจและต้องถูกเลือกเพื่อให้จุดสองคู่คั่นด้วยช่วงเวลาเท่ากันตามที่คำนวณโดยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทของพีธากอรัสอาจถูกสร้างขึ้นเพื่อให้ตรงกับระยะทางที่เลือกและเหมาะสมเท่ากัน (บนของแข็ง)
แนวคิดและข้อเสนอของเรขาคณิตแบบยุคลิดอาจได้มาจากข้อเสนอของพีธากอรัสโดยไม่ต้องมีการนำวัตถุแข็งเกร็งมาใช้ แต่แนวคิดและข้อเสนอเหล่านี้จะไม่มีเนื้อหาที่สามารถทดสอบได้ พวกเขาไม่ได้เป็นข้อเสนอ "ของจริง" แต่เพียงข้อเสนอที่ถูกต้องเชิงเหตุผลของเนื้อหาที่เป็นทางการล้วนๆ
