ลอจิกและโลหะ
ในอีกแง่หนึ่งตรรกะจะต้องระบุด้วยแคลคูลัสภาคแรกของคำสั่งแคลคูลัสที่ตัวแปรถูก จำกัด อยู่ที่บุคคลของโดเมนคงที่ - แม้ว่ามันอาจรวมถึงตรรกะของตัวตนเช่นสัญลักษณ์“ =,” ซึ่ง ใช้คุณสมบัติสามัญของตัวตนเป็นส่วนหนึ่งของตรรกะ ในแง่นี้ Gottlob Frege ได้รับแคลคูลัสเชิงตรรกะอย่างเป็นทางการเร็วเท่าที่ 1879 บางครั้งตรรกะถูกตีความอย่างไรก็ตามเช่นเดียวกับรวมถึงลำดับที่สูงขึ้นของแคลคูลัสแคลคูลัสซึ่งยอมรับตัวแปรประเภทที่สูงกว่าเช่นที่ผ่านภาค (หรือชั้นเรียนและความสัมพันธ์) และอื่น ๆ แต่แล้วมันก็เป็นขั้นตอนเล็ก ๆ เพื่อรวมทฤษฎีเซตและในความเป็นจริงทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์มักถูกมองว่าเป็นส่วนหนึ่งของตรรกะ อย่างไรก็ตามสำหรับวัตถุประสงค์ของบทความนี้มันเหมาะสมที่จะ จำกัด การอภิปรายกับตรรกะในความหมายแรก
เป็นการยากที่จะแยกการค้นพบที่สำคัญในตรรกะจากผู้ที่อยู่ใน metalogic เพราะทุกทฤษฎีที่สนใจ logologists อยู่เกี่ยวกับตรรกะและดังนั้นจึงเป็นของ metalogic ถ้า p เป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ - โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนึ่งเรื่องเกี่ยวกับตรรกะ - และ P คือการรวมกันของสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้สำหรับการพิสูจน์ p ดังนั้น p ทุกตัวจะกลายเป็นทฤษฎีบทได้ "ไม่ใช่ p-p หรือ p" ในตรรกะ คณิตศาสตร์ไม่ได้ทำอย่างไรก็ตามโดยดำเนินการทุกขั้นตอนอย่างเป็นทางการในตรรกะ; การเลือกและความเข้าใจที่เข้าใจง่ายของสัจพจน์นั้นมีความสำคัญทั้งสำหรับคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ derivations จริงในตรรกะเช่นที่ดำเนินการก่อนสงครามโลกครั้งที่หนึ่งโดยอัลเฟรดนอร์ ธ ไวท์เฮดและเบอร์ทรานด์รัสเซิลล์รัสเซลมีความสนใจภายในน้อยมากที่จะ logicians ดังนั้นจึงอาจปรากฏซ้ำซ้อนเพื่อแนะนำคำว่า metalogic อย่างไรก็ตามในการจำแนกประเภทปัจจุบัน metalogic นั้นไม่เพียง แต่เกี่ยวข้องกับการค้นพบเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงตรรกะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการศึกษาระบบที่เป็นทางการและภาษาที่เป็นทางการโดยทั่วไป
ระบบที่เป็นทางการธรรมดาแตกต่างจากแคลคูลัสเชิงตรรกะในระบบที่มักจะมีการตีความที่ตั้งใจในขณะที่แคลคูลัสเชิงตรรกะจงใจปล่อยให้การตีความที่เป็นไปได้เปิด เช่นหนึ่งพูดถึงความจริงหรือความเท็จของประโยคในระบบที่เป็นทางการ แต่ด้วยความเคารพต่อตรรกะแคลคูลัสหนึ่งพูดถึงความถูกต้อง (กล่าวคือเป็นจริงในการตีความทั้งหมดหรือในโลกที่เป็นไปได้ทั้งหมด) และความพึงพอใจ (หรือ มีโมเดล - กล่าวคือเป็นจริงในการตีความบางอย่าง) ดังนั้นความสมบูรณ์ของแคลคูลัสเชิงตรรกะจึงค่อนข้างมีความหมายที่แตกต่างจากของระบบที่เป็นทางการ: แคลคูลัสเชิงตรรกะอนุญาตให้ใช้ประโยคจำนวนมากเช่นนั้นทั้งประโยคและการปฏิเสธก็เป็นทฤษฎีบทเพราะมันเป็นจริงในการตีความบางอย่างและเท็จในอื่น ๆ และ มันต้องการเพียงว่าทุกประโยคที่ถูกต้องเป็นทฤษฎีบท
