รากฐานของคณิตศาสตร์

ทฤษฎีหมวดหมู่

นามธรรมในวิชาคณิตศาสตร์

หนึ่งแนวโน้มล่าสุดในการพัฒนาคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการที่ค่อยๆของนามธรรม นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ Niels Henrik Abel (1802–29) พิสูจน์ว่าสมการของระดับที่ห้าไม่สามารถแก้ไขได้โดยอนุมูลอิสระ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสÉvariste Galois (2354-32) แรงบันดาลใจจากการทำงานของอาเบลแนะนำบางกลุ่มเพื่อกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับพีชคณิตพีชคณิตสมการพหุนามแก้สมการ กลุ่มคอนกรีตเหล่านี้ในไม่ช้าก่อให้เกิดกลุ่มนามธรรมซึ่งถูกอธิบายตามหลักการ จากนั้นจึงตระหนักว่าการศึกษากลุ่มนั้นจำเป็นต้องดูความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มต่าง ๆ - โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่โฮโมมอร์ฟิซึมที่แมปกลุ่มหนึ่งไปยังอีกกลุ่มหนึ่งในขณะที่ยังคงปฏิบัติการของกลุ่ม ดังนั้นผู้คนเริ่มศึกษาสิ่งที่เรียกว่าประเภทคอนกรีตของกลุ่มซึ่งวัตถุคือกลุ่มและลูกศรที่มีลักษณะเหมือนกัน มันใช้เวลาไม่นานสำหรับหมวดคอนกรีตที่จะถูกแทนที่ด้วยหมวดหมู่นามธรรมอธิบายอีกครั้งตามหลักการ

แนวคิดที่สำคัญของหมวดหมู่ได้รับการแนะนำโดย Samuel Eilenberg และ Saunders Mac Lane เมื่อสิ้นสุดสงครามโลกครั้งที่สอง หมวดหมู่ที่ทันสมัยเหล่านี้จะต้องแตกต่างจากหมวดของอริสโตเติลซึ่งเรียกว่าประเภทที่ดีกว่าในบริบทปัจจุบัน หมวดหมู่ไม่ได้มี แต่วัตถุเท่านั้น แต่ยังมีลูกศร (เรียกอีกอย่างว่า morphisms การแปลงรูปหรือการแมป) ระหว่างวัตถุเหล่านั้น

หลายประเภทมีชุดวัตถุที่ endowed กับโครงสร้างและลูกศรซึ่งรักษาโครงสร้างนี้ ดังนั้นจึงมีหมวดหมู่ของเซต (ที่มีโครงสร้างว่างเปล่า) และการแมปกลุ่มและกลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนและวงแหวน - โฮโมมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้นของทอพอโลยีเชิงพื้นที่และการแมปแบบต่อเนื่องเป็นต้น แม้จะมีอยู่ในระดับที่เป็นนามธรรมมากขึ้นหมวดหมู่ของ (เล็ก) หมวดหมู่และ functors เป็น morphisms ระหว่างหมวดหมู่ที่ถูกเรียกซึ่งรักษาความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุและลูกศร

ไม่สามารถดูหมวดหมู่ทั้งหมดได้ด้วยวิธีที่เป็นรูปธรรม ตัวอย่างเช่นสูตรของระบบการอนุมานอาจถูกมองว่าเป็นวัตถุของหมวดหมู่ที่ลูกศร f: A → B เป็นการหักจาก B จาก A ในความเป็นจริงมุมมองนี้มีความสำคัญในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี เป็นประเภทและการหักเงินตามการดำเนินงาน

ยิ่งไปกว่านั้นหมวดหมู่ประกอบด้วย (1) ชุดของวัตถุ A, B, C,.., (2) สำหรับแต่ละคู่ของวัตถุที่ได้รับคำสั่งในคอลเลกชันเป็นคอลเลกชันของการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องรวมถึงตัวตนฉัน_A∶ A → A และ (3) กฎหมายที่เกี่ยวข้องขององค์ประกอบสำหรับแต่ละวัตถุที่ได้รับคำสั่งในสามประเภทใน f∶ A → B และ g∶ B → C การจัดองค์ประกอบ gf (หรือ g ○ f) เป็นการเปลี่ยนแปลงจาก A ถึง C - กล่าวคือ, gf∶ A → C. นอกจากนี้กฎหมายการเชื่อมโยงและตัวตนจะต้องเก็บไว้ (ที่ องค์ประกอบที่มีการกำหนด) -ie, h (GF) = (Hg) ฉ 1 _B f = f = f1

ในความหมายวัตถุของหมวดหมู่นามธรรมไม่มีหน้าต่างเช่นพระของ Leibniz ในการอนุมานการตกแต่งภายในของวัตถุ A เราเพียงต้องการดูลูกศรทั้งหมดจากวัตถุอื่น ๆ ไปยัง A ตัวอย่างเช่นในหมวดหมู่ของชุดองค์ประกอบของชุด A อาจถูกแทนด้วยลูกศรจากชุดองค์ประกอบหนึ่งทั่วไปลงใน A. ในทำนองเดียวกันในหมวดหมู่ของประเภทขนาดเล็กถ้า1เป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุหนึ่งและไม่มีลูกศร nonidentity วัตถุของหมวดหมู่อาจจะยึดติดกับ functors 1 → นอกจากนี้ถ้า2เป็นหมวดหมู่ที่มีสองวัตถุและลูกศร nonidentity หนึ่งลูกศรของอาจจะยึดติดกับ functors 2 →

โครงสร้างแบบมอร์ฟิก

เอฟลูกศร: เป็น→ B เรียกว่ามอร์ฟถ้ามีลูกศรกรัม: B →ตรงกันข้ามเพื่อ F-ที่เป็นเช่นนั้นกรัม○ f = 1 และฉ○กรัม = 1 B สิ่งนี้เขียนขึ้น A ≅ B และ A และ B เรียกว่า isomorphic ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีโครงสร้างเดียวกันเป็นหลักและไม่จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างพวกเขา ดังนั้นเมื่อหน่วยงานทางคณิตศาสตร์เป็นวัตถุของหมวดหมู่พวกเขาจะได้รับการมอร์ฟิซึ่มส์เท่านั้น สิ่งก่อสร้างเชิงทฤษฎีดั้งเดิมของพวกเขานอกเหนือจากการให้บริการที่มีประโยชน์ในการแสดงความมั่นคงนั้นไม่เกี่ยวข้องจริงๆ

ตัวอย่างเช่นในการก่อสร้างตามปกติของวงแหวนจำนวนเต็มจำนวนเต็มจะถูกกำหนดเป็นคลาสความเท่าเทียมของคู่ (m, n) ของจำนวนธรรมชาติโดยที่ (m, n) เทียบเท่ากับ (m ′, n′) ถ้าและ เฉพาะในกรณีที่ m + n ′= m′ + n แนวคิดคือคลาสการเทียบเท่าของ (m, n) จะถูกดูเป็น m - n สิ่งที่สำคัญสำหรับนักจำแนกประเภทคือว่าวงแหวน integ ของจำนวนเต็มเป็นวัตถุเริ่มต้นในหมวดหมู่ของวงแหวนและโฮโมมอร์ฟิซึม - นั่นคือสำหรับวงแหวนทุกℝจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมเฉพาะℤ→ℝ เมื่อมองด้วยวิธีนี้ℤจะได้รับมอร์ฟิซึ่มส์เท่านั้น ในจิตวิญญาณเดียวกันมันไม่ควรพูดว่าℤมีอยู่ในสนามℚของจำนวนตรรกยะ แต่เพียงว่า homomorphism ism →ℚเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ในทำนองเดียวกันมันไม่มีเหตุผลที่จะพูดถึงการแยกเซตตามทฤษฎีของπและสแควร์รูทของ√-1 ถ้าทั้งคู่แสดงเป็นเซตของเซต (ad infinitum)

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษในฐานรากและที่อื่น ๆ คือ adjoint functors (F, G) นี่คือคู่ของ functors ระหว่างสองหมวดหมู่?และℬซึ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามเช่นการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งอยู่ระหว่างชุดของลูกศร F (A) → B ในℬและชุดของลูกศร A → G (B) ใน ?— นั่นคือเซตนั้น isomorphic