กังหันลมของยูคลิด

รัฐทฤษฎีบทพีทาโกรัสว่าผลรวมของสี่เหลี่ยมบนขาขวาของสามเหลี่ยมที่มีค่าเท่ากับตารางบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (ฝั่งตรงข้ามมุมขวา) -in คุ้นเคยสัญกรณ์พีชคณิตเป็น² + B ² c = 2 ชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์พบว่ามีจำนวนเต็มสามเท่า (a, b, c) เป็นที่พอใจของความสัมพันธ์ Pythagoras (c. 580 – c. 500 bc) หรือหนึ่งในผู้ติดตามของเขาอาจเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทที่แสดงชื่อของเขา Euclid (c. 300 bc) เสนอการสาธิตอย่างชาญฉลาดของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในองค์ประกอบของเขารู้จักกันในชื่อการพิสูจน์ Windmill จากรูปร่างของร่าง

วาดสี่เหลี่ยมที่ด้านข้างของΔABCด้านขวา
BCH และ ACK เป็นเส้นตรงเนื่องจาก∠ACB = 90 °
∠EAB = ∠CAI = 90 °โดยการก่อสร้าง
∠BAI = ∠BAC + ∠CAI = ∠BAC + ∠EAB = ∠EACโดย 3
AC = AI และ AB = AE โดยการก่อสร้าง
ดังนั้นΔBAI≅ΔEACโดยทฤษฎีบทมุมด้านข้าง (ดูแถบด้านข้าง: สะพานแห่ง Asses) ดังที่ได้เน้นไว้ในส่วน (a) ของภาพ
วาด CF ขนานกับ BD
สี่เหลี่ยมผืนผ้า AGFE = 2ΔACE ผลลัพธ์อันน่าทึ่งนี้เกิดขึ้นจากทฤษฎีบทเบื้องต้นสองประการ: (a) พื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดบนฐานเดียวกันซึ่งจุดสุดยอดที่สามตั้งอยู่ที่ใดก็ได้บนเส้นตรงยาวขนานไปกับฐาน และ (b) พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานใด ๆ (รวมถึงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใด ๆ) ที่มีฐานและความสูงเดียวกัน
Square AIHC = 2ΔBAIโดยทฤษฎีบทสี่เหลี่ยมด้านขนานเช่นเดียวกับในขั้นตอนที่ 8
ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้า AGFE = square AIHC ตามขั้นตอนที่ 6, 8 และ 9
∠DBC = ∠ABJเช่นเดียวกับในขั้นตอนที่ 3 และ 4
BC = BJ และ BD = AB โดยการก่อสร้างในขั้นตอนที่ 5
ΔCBD≅ΔJBAดังในขั้นตอนที่ 6 และเน้นในส่วน (b) ของรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้า BDFG = 2ΔCBDเช่นเดียวกับในขั้นตอนที่ 8
Square CKJB = 2ΔJBAเช่นเดียวกับในขั้นตอนที่ 9
ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้า BDFG = square CKJB ดังในขั้นตอนที่ 10
ABDE สี่เหลี่ยม = สี่เหลี่ยม AGFE + สี่เหลี่ยม BDFG โดยการก่อสร้าง
ดังนั้น square ABDE = square AIHC + square CKJB ตามขั้นตอนที่ 10 และ 16

หนังสือเล่มแรกของ Euclid's Elements เริ่มต้นด้วยคำนิยามของจุดหนึ่งและลงท้ายด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัสและการสนทนา (ถ้าผลรวมของรูปสี่เหลี่ยมสองด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับรูปสี่เหลี่ยมบนด้านที่สามจะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก). การเดินทางครั้งนี้จากคำจำกัดความที่เฉพาะเจาะจงไปยังคำแถลงทางคณิตศาสตร์นามธรรมและสากลได้ถูกนำมาใช้เป็นสัญลักษณ์ของการพัฒนาของชีวิตอารยะ ตัวอย่างที่เด่นชัดของการระบุเหตุผลของ Euclid ที่มีการแสดงออกสูงสุดของความคิดคือข้อเสนอในปี 1821 โดยนักฟิสิกส์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันเพื่อเปิดการสนทนากับชาว Mars โดยแสดงให้เราเห็นว่าพวกเขามีวุฒิภาวะทางปัญญา ทั้งหมดที่เราต้องทำเพื่อดึงดูดความสนใจและการอนุมัติของพวกเขาก็คือการไถและปลูกพืชขนาดใหญ่ในรูปของแผนภาพกังหันลมหรือตามที่คนอื่นเสนอเพื่อขุดคลองแนะนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสในไซบีเรียหรือซาฮารา เติมน้ำมันใส่ไฟและรอคำตอบ การทดลองยังไม่ได้รับการพิจารณาโดยไม่ลังเลว่าชาวดาวอังคารไม่มีกล้องโทรทรรศน์ไม่มีรูปทรงเรขาคณิตหรือไม่มีตัวตน