นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกไดโอแฟนทัส

Diophantus, ชื่อDiophantus ของ Alexandria, (เฟื่องฟู c. ce 250), นักคณิตศาสตร์กรีก, มีชื่อเสียงในการทำงานของเขาในพีชคณิต.

ทฤษฎีจำนวน: ไดโอแฟนตัส

ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกในภายหลังโดยเฉพาะที่สำคัญคือDiophantus of Alexandria (เฟื่องฟูค. 250), ผู้แต่ง

สิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่รู้ว่าชีวิตของ Diophantus นั้นเป็นสถานการณ์ จากชื่อ“ ของอเล็กซานเดรีย” ดูเหมือนว่าเขาทำงานในศูนย์วิทยาศาสตร์หลักของโลกกรีกโบราณ และเนื่องจากเขาไม่ได้กล่าวถึงก่อนศตวรรษที่ 4 จึงมีแนวโน้มว่าเขาจะรุ่งเรืองในช่วงศตวรรษที่ 3 เลขคณิตเลขคณิตจาก Anthologia Graeca สมัยโบราณอ้างว่าจะหวนกลับไปสู่สถานที่สำคัญบางแห่งในชีวิตของเขา (การแต่งงานที่ 33 เกิดจากลูกชายของเขาที่ 38 การตายของลูกชายของเขาเมื่อสี่ปีก่อน 84) สองงานได้ลงมาหาเราภายใต้ชื่อของเขาทั้งสองไม่สมบูรณ์ ประการแรกคือชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของตัวเลขรูปหลายเหลี่ยม (ตัวเลขนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมหากจำนวนจุดเดียวกันนั้นสามารถจัดเรียงในรูปแบบของรูปหลายเหลี่ยมปกติ) ประการที่สองเป็นตำราที่มีขนาดใหญ่และมีอิทธิพลอย่างยิ่งต่อชื่อเสียงของ Diophantus ที่มีชื่อเสียงในสมัยโบราณและสมัยใหม่ทั้งหมดคือ Arithmetica ของเขา ความสำคัญทางประวัติศาสตร์ของมันคือสองเท่ามันเป็นงานแรกที่รู้จักกันในการจ้างพีชคณิตในรูปแบบที่ทันสมัยและมันเป็นแรงบันดาลใจการเกิดใหม่ของทฤษฎีจำนวน

Arithmetica เริ่มต้นด้วยการแนะนำที่ส่งไปยังไดโอนิซิอัส - เซนต์โดนิซิอัสแห่งอเล็กซานเดรีย หลังจากข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับตัวเลขไดโอแฟนตัสอธิบายสัญลักษณ์ของเขา - เขาใช้สัญลักษณ์สำหรับสิ่งแปลกปลอม (ตรงกับ x ของเรา) และพลังของมันบวกหรือลบตลอดจนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่าง - สัญลักษณ์เหล่านี้ส่วนใหญ่เป็นตัวย่อชัดเจน นี่คือการเกิดขึ้นครั้งแรกและครั้งเดียวของสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิตก่อนศตวรรษที่ 15 หลังจากการสอนการคูณพลังของสิ่งแปลกปลอมไดโอแฟนตัสอธิบายการทวีคูณของคำศัพท์เชิงบวกและเชิงลบและวิธีการลดสมการเป็นหนึ่งเดียวกับคำศัพท์เชิงบวกเท่านั้น (รูปแบบมาตรฐานที่นิยมในสมัยโบราณ) เมื่อผู้ชนะเลิศเหล่านี้พ้นทาง Diophantus ก็สามารถแก้ไขปัญหาได้ แท้จริงแล้ว Arithmetica นั้นเป็นชุดของปัญหาเกี่ยวกับการแก้ไขประมาณ 260 ในส่วนที่ยังคงหลงเหลืออยู่

การแนะนำยังระบุว่างานแบ่งออกเป็น 13 เล่ม หนังสือเหล่านี้หกเล่มเป็นที่รู้จักในยุโรปในช่วงปลายศตวรรษที่ 15 ส่งผ่านโดยนักวิชาการชาวไบแซนไทน์กรีกและมีหมายเลขจาก I ถึง VI; หนังสืออีกสี่เล่มถูกค้นพบในปี 1968 ในการแปลภาษาอาหรับสมัยศตวรรษที่ 9 โดยQusṭā ibn Lūqā อย่างไรก็ตามข้อความภาษาอาหรับขาดสัญลักษณ์เชิงคณิตศาสตร์และดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามความเห็นของชาวกรีกในภายหลัง - บางทีอาจจะเป็นของ Hypatia (c. 370–415) - นั่นคือการแสดงออกของ Diophantus ที่เจือจาง ตอนนี้เรารู้แล้วว่าต้องมีการปรับเปลี่ยนเลขหนังสือกรีก: Arithmetica จึงประกอบด้วย Books I ถึง III ในภาษากรีก, หนังสือ IV ถึง VII ในภาษาอาหรับ, และสันนิษฐานว่าหนังสือ VIII ถึง X ในภาษากรีก (ภาษากรีกหนังสือเก่า IV ถึง VI) การจัดหมายเลขใหม่ไม่น่าเป็นไปได้ ค่อนข้างแน่นอนว่าไบแซนไทน์รู้เพียงแค่หนังสือหกเล่มที่พวกเขาส่งและพวกอาหรับไม่มากไปกว่า Books I ถึง VII ในเวอร์ชั่นที่วิจารณ์

ปัญหาของ Book I ไม่ใช่ลักษณะเป็นปัญหาส่วนใหญ่ที่ใช้เพื่ออธิบายการคำนวณเชิงพีชคณิต คุณสมบัติที่โดดเด่นของปัญหาของไดโอแฟนตัสปรากฏในหนังสือเล่มต่อมา: พวกมันไม่แน่นอน (มีมากกว่าหนึ่งวิธีแก้ปัญหา), เป็นระดับที่สองหรือลดลงได้ในระดับที่สอง (พลังสูงสุดในแง่ตัวแปรคือ 2 เช่น x ²) และจบลงด้วยการหาค่าเหตุผลที่เป็นบวกสำหรับค่าที่ไม่รู้จักซึ่งจะทำให้นิพจน์พีชคณิตที่กำหนดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือบางครั้งลูกบาศก์ (ตลอดหนังสือของเขาไดโอแฟนตัสใช้“ หมายเลข” เพื่ออ้างถึงสิ่งที่เรียกว่าเลขบวก, จำนวนตรรกยะ; ดังนั้นเลขฐานสองจึงเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมบวกจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง) หนังสือ II และ III ยังสอนวิธีการทั่วไปด้วย ในสามปัญหาของ Book II มีการอธิบายวิธีการแสดง: (1) หมายเลขสแควร์ใด ๆ ที่ระบุเป็นผลรวมของกำลังสองของจำนวนตรรกยะสองจำนวน (2) จำนวนที่ไม่ได้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสใด ๆ ซึ่งเป็นผลรวมของกำลังสองที่รู้จักกันเป็นผลรวมของอีกสองกำลังสอง และ (3) จำนวนตรรกยะที่ให้เป็นผลต่างของสองกำลังสอง ในขณะที่ปัญหาที่หนึ่งและที่สามถูกระบุโดยทั่วไปความรู้ที่สันนิษฐานของโซลูชันหนึ่งในปัญหาที่สองชี้ให้เห็นว่าไม่ใช่จำนวนตรรกยะทุกตัวที่เป็นผลรวมของสองกำลังสอง Diophantus ต่อมาให้เงื่อนไขสำหรับจำนวนเต็ม: จำนวนที่กำหนดจะต้องไม่มีปัจจัยสำคัญของรูปแบบ 4n + 3 ยกกำลังแปลกที่ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่นกระตุ้นให้เกิดการเกิดใหม่ของทฤษฎีจำนวน แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วไดโอแฟนตัสจะพึงพอใจที่จะได้รับทางออกหนึ่งเดียวกับปัญหา แต่บางครั้งเขาก็กล่าวถึงปัญหาที่มีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนมาก

ใน Books IV ถึง VII Diophantus ขยายวิธีการพื้นฐานเช่นที่อธิบายไว้ข้างต้นไปสู่ปัญหาขององศาที่สูงขึ้นซึ่งสามารถลดลงเป็นสมการทวินามของระดับที่หนึ่งหรือสอง คำนำหน้าหนังสือเหล่านี้ระบุว่าจุดประสงค์ของพวกเขาคือเพื่อให้ผู้อ่านได้รับ“ ประสบการณ์และทักษะ” ในขณะที่การค้นพบล่าสุดนี้ไม่ได้เพิ่มความรู้ด้านคณิตศาสตร์ของไดโอแฟนตัส แต่จะเปลี่ยนการประเมินความสามารถในการสอนของเขา หนังสือ VIII และ IX (หนังสือภาษากรีก IV และ V) น่าจะแก้ปัญหาที่ยากขึ้นได้แม้ว่าวิธีการพื้นฐานจะยังคงเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่นปัญหาหนึ่งเกี่ยวข้องกับการแยกจำนวนเต็มที่กำหนดให้เป็นผลรวมของสองกำลังสองที่อยู่ใกล้กันโดยพลการ ปัญหาที่คล้ายกันเกี่ยวข้องกับการย่อยสลายจำนวนเต็มที่กำหนดให้เป็นผลรวมของสามกำลังสอง; ในนั้น Diophantus แยกกรณีที่เป็นไปไม่ได้ของจำนวนเต็มของรูปแบบ 8n + 7 (อีกครั้ง n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบ) Book X (สมมุติกรีก Book VI) เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากกับด้านเหตุผลและอาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติมต่าง ๆ

เนื้อหาของหนังสือสามเล่มที่ขาดหายไปของ Arithmetica สามารถสรุปได้จากการแนะนำซึ่งหลังจากบอกว่าการลดปัญหาควร“ ถ้าเป็นไปได้” สรุปด้วยสมการทวินามไดโอแฟนตัสเสริมว่าเขาจะ“ ต่อมา” จัดการคดี ของสมการไตรนาม - คำสัญญาไม่สำเร็จในส่วนที่ยังหลงเหลืออยู่

แม้ว่าเขาจะมีเครื่องมือเกี่ยวกับพีชคณิต จำกัด ในการจัดการของเขา Diophantus พยายามที่จะแก้ปัญหาที่หลากหลายและ Arithmetica เป็นแรงบันดาลใจนักคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับเช่น al-Karajī (c. 980-1030) เพื่อใช้วิธีการของเขา การขยายงานของไดโอแฟนทัสที่มีชื่อเสียงที่สุดคือปิแอร์เดอแฟร์มาต์ (1601–65) ผู้ก่อตั้งทฤษฎีตัวเลขสมัยใหม่ ในระยะขอบของสำเนา Arithmetica ของเขาแฟร์มาต์เขียนคำพูดต่าง ๆ เสนอวิธีแก้ไขใหม่และวิธีการทั่วไปของ Diophantus รวมทั้งการคาดเดาเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ซึ่งครอบครองนักคณิตศาสตร์มาหลายชั่วอายุคน สมการที่ไม่ทราบแน่ชัดซึ่ง จำกัด อยู่ที่การแก้ปัญหาแบบอินทิกรัลได้ถูกทำให้เป็นที่รู้จัก