สมการเชิงอนุพันธ์คำแถลงทางคณิตศาสตร์ที่มีอนุพันธ์หนึ่งรายการขึ้นไปนั่นคือเงื่อนไขที่แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง สมการเชิงอนุพันธ์เป็นเรื่องธรรมดามากในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมรวมทั้งในสาขาอื่น ๆ ของการศึกษาเชิงปริมาณเพราะสิ่งที่สามารถสังเกตได้โดยตรงและวัดได้สำหรับระบบที่มีการเปลี่ยนแปลงคืออัตราการเปลี่ยนแปลง คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์คือโดยทั่วไปแล้วสมการแสดงการพึ่งพาการทำงานของตัวแปรหนึ่งตัวต่อหนึ่งตัวหรือมากกว่าตัวอื่น ๆ มันมักจะมีคำคงที่ที่ไม่ได้อยู่ในสมการเชิงอนุพันธ์เดิม อีกวิธีหนึ่งในการบอกว่านี่คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สร้างฟังก์ชันที่สามารถใช้ในการทำนายพฤติกรรมของระบบดั้งเดิมอย่างน้อยภายในข้อ จำกัด บางอย่าง
การวิเคราะห์: สมการนิวตันและสมการเชิงอนุพันธ์
การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์คือสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณต่าง ๆ กับค่าปัจจุบัน
สมการเชิงอนุพันธ์แบ่งออกเป็นหมวดหมู่กว้าง ๆ และแบ่งออกเป็นหมวดย่อยย่อย ๆ อีกมากมาย หมวดที่สำคัญที่สุดคือสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เมื่อฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องในสมการนั้นขึ้นอยู่กับตัวแปรเพียงตัวเดียวอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์นั้นถูกจัดประเภทเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในทางตรงกันข้ามถ้าฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระหลายอย่างดังนั้นอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ย่อยบางส่วนสมการเชิงอนุพันธ์จะถูกจัดประเภทเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ:
ในสิ่งเหล่านี้ y หมายถึงฟังก์ชันและ t หรือ x เป็นตัวแปรอิสระ สัญลักษณ์ k และ m ถูกใช้ที่นี่เพื่อแสดงค่าคงที่ที่เฉพาะเจาะจง
ไม่ว่าจะเป็นประเภทใดสมการเชิงอนุพันธ์จะกล่าวว่าเป็นลำดับที่ n ถ้าเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของลำดับที่ n แต่ไม่มีอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่านี้ สมการเป็นตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่สอง ทฤษฎีของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและบางส่วนนั้นมีความแตกต่างอย่างชัดเจนและด้วยเหตุนี้ทั้งสองประเภทจึงได้รับการปฏิบัติแยกกัน
แทนที่จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เดียววัตถุของการศึกษาอาจเป็นระบบพร้อมกันของสมการดังกล่าว การกำหนดกฎของการเปลี่ยนแปลงมักนำไปสู่ระบบดังกล่าว ในหลาย ๆ กรณีสมการเชิงอนุพันธ์เดียวของลำดับที่ n สามารถเปลี่ยนได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยระบบของสมการที่เกิดขึ้นพร้อมกันซึ่งแต่ละอันนั้นเป็นลำดับแรกดังนั้นจึงสามารถใช้เทคนิคจากพีชคณิตเชิงเส้นได้
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ยกตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นและตัวแปรอิสระถูกแสดงด้วย y และ x มีผลสรุปโดยนัยของคุณสมบัติที่สำคัญของ y เป็นฟังก์ชันของ x คุณลักษณะเหล่านี้น่าจะสามารถเข้าถึงการวิเคราะห์ได้มากขึ้นถ้าสามารถสร้างสูตรที่ชัดเจนสำหรับ y ได้ สูตรดังกล่าวหรืออย่างน้อยหนึ่งสมการใน x และ y (ไม่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์) ที่สามารถอนุมานได้จากสมการอนุพันธ์เรียกว่าคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ กระบวนการของการอนุมานการแก้ปัญหาจากสมการโดยการใช้พีชคณิตและแคลคูลัสเรียกว่าการแก้หรือการรวมสมการ อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจน แต่เป็นเพียงส่วนน้อย ดังนั้นฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะต้องศึกษาด้วยวิธีการทางอ้อม แม้การดำรงอยู่ของมันจะต้องพิสูจน์เมื่อไม่มีความเป็นไปได้ในการผลิตเพื่อการตรวจสอบ ในทางปฏิบัติมีการใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์เพื่อหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่มีประโยชน์
