คณิตศาสตร์สมมติฐานต่อเนื่อง

สมมติฐานต่อเนื่องคำแถลงของทฤษฎีเซตว่าเซตของจำนวนจริง (ความต่อเนื่อง) มีความหมายน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในปี ค.ศ. 1873 Georg Cantor นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้พิสูจน์ว่าจำนวนต่อเนื่องนั้นนับไม่ได้กล่าวคือจำนวนจริงนั้นมีขนาดใหญ่กว่าจำนวนนับนับเป็นผลที่สำคัญในการเริ่มต้นทฤษฎีเซตเป็นวิชาคณิตศาสตร์ นอกจากนี้คันทอร์ยังพัฒนาวิธีการจำแนกขนาดของเซตอนันต์ตามจำนวนขององค์ประกอบหรือความสำคัญเชิงหัวใจ (ดูทฤษฎีที่ตั้งไว้: ความสำคัญของหัวใจและจำนวน transfinite) ในแง่เหล่านี้สมมติฐานต่อเนื่องสามารถระบุได้ดังต่อไปนี้ความสำคัญของความต่อเนื่องเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดนับไม่ได้

ทฤษฎีเซต: จำนวนนับและจำนวนเต็ม

การคาดเดาที่รู้จักกันในชื่อสมมติฐานต่อเนื่อง

ในสัญลักษณ์ของคันทอร์สมมติฐานต่อเนื่องสามารถระบุได้โดยสมการที่เรียบง่าย 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁โดยที่is ₀คือหมายเลขที่สำคัญของเซตอนันต์ที่นับไม่ได้ (เช่นชุดของจำนวนธรรมชาติ) และจำนวนสำคัญของ " ชุดที่เป็นระเบียบเรียบร้อย” คือℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _{อัลฟ่า},

จัดทำดัชนีโดยหมายเลขลำดับ ภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่องสามารถแสดงได้เท่ากับ 2 ^{ℵ ₀}; ดังนั้นสมมติฐานดังกล่าวจึงกำหนดกฎการมีอยู่ของชุดขนาดกลางระหว่างตัวเลขธรรมชาติกับความต่อเนื่อง

คำสั่งที่แข็งแกร่งเป็นสมมติฐานทั่วไปต่อเนื่อง (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1}สำหรับแต่ละαเลขลำดับ นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์WacławSierpińskiพิสูจน์แล้วว่าด้วย GCH หนึ่งสามารถได้มาซึ่งความจริงของการเลือก

เช่นเดียวกับสัจพจน์ของทางเลือกนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันที่เกิดในออสเตรีย Kurt Gödelพิสูจน์ในปี 1939 ว่าถ้าความจริงมาตรฐานอื่น ๆ ของ Zermelo-Fraenkel (ZF;

ตาราง) มีความสอดคล้องกันจากนั้นพวกเขาจะไม่หักล้างสมมติฐานต่อเนื่องหรือแม้แต่ GCH นั่นคือผลลัพธ์ของการเพิ่ม GCH ไปยังสัจพจน์อื่นยังคงสอดคล้องกัน จากนั้นในปี 1963 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Paul Cohen ได้สร้างภาพให้สมบูรณ์โดยการแสดงอีกครั้งภายใต้สมมติฐานที่ว่า ZF สอดคล้องกันว่า ZF ไม่ได้ให้การพิสูจน์สมมติฐานต่อเนื่อง

เนื่องจาก ZF ไม่ได้พิสูจน์หรือพิสูจน์หักล้างสมมติฐานต่อเนื่องจึงมีคำถามว่าจะยอมรับสมมติฐานต่อเนื่องที่อยู่บนพื้นฐานของแนวคิดที่เป็นทางการหรือไม่ คำตอบทั่วไปในชุมชนคณิตศาสตร์นั้นเป็นลบ: สมมติฐานต่อเนื่องเป็นคำสั่งที่ จำกัด ในบริบทที่ไม่มีเหตุผลที่รู้ที่จะกำหนดขีด จำกัด ในทางทฤษฎีชุดไฟชุดมอบหมายการดำเนินการไปยังชุดของ cardinality ℵแต่ละ_αชุดย่อยทั้งหมดซึ่งมี cardinality 2 ^ℵ α ดูเหมือนจะไม่มีเหตุผลที่จะกำหนดข้อ จำกัด เกี่ยวกับความหลากหลายของชุดย่อยที่อาจมีชุดไม่สิ้นสุด